数学の問題を解く。ただそれだけ。

今回は、中学3年生でも解くことが可能な因数分解の超絶応用問題を解いていこうと思う。（画像が添付できないから読みにくいけど）ではやっていこう。問題はオリジナルだから間違っているかもしれないということを承知してほしい。本当は絶対ダメなんだけど。あとてきとーに書いているので文字の順番が時々おかしいかもしれない。本当はダメだが。今回の問題、解きがいはあると思う。

あと一応これは「小説」なので、人物を登場させておこう。数学の問題でお馴染みの太郎君と花子さんだ。

太郎君：「図書館に行きたいな。」

花子さん：「いいね。私は10分後に行くよ。」

太郎君と花子さんが会話した、ということは会話文だ。つまりこれは「小説」だ。小説だよ、これは小説。つまり、以降の問題も小説と言えるだろう。

（問題）--------------------------------------------------------------------------------------

(1)次の与式を満たすxとyの組を5つ答えよ。ただし,x≠yである。また,x≠0である。解答に関して,(x,y)=(a,b),(c,d)⋯の形で解答すること。

2x^3=2x^2 y+9x^2-9xy

(2)(c,d)=(375,625)であるとき,2c(2c^2-2d^2)を求めよ。

(3)abc^2-abc-ac^2+ac=10で,bc-b-c+1=8であるとき,(ac)^3を求めよ。

(4)-a-0.5b=10で,b+a^2/b+2a=22であるとき, (a^4+a^2 b)/b^2を求めよ。

(5)(a+b+c+d+⋯+z+2a+2b+2c+⋯+2z)^2を展開したとき,azの係数は何になるか答えよ。

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(1)

取りあえず与式の左辺に項を全部移して、X=0の形を作る。で、あとは共通員数で括って旨い事因数分解をしてあげると、x(2x-9)(x-y)となる。で、これが0の形となるのは少なくとも1つの項が0のときなんだが、x≠0とx≠yの条件により、xと(x-y)の項が0になることはあり得ないと分かる。つまり、2x-9=0を満たすxとyのペアを見つけてあげれば良いので、この一次方程式を解いてx=9/2。で、あとはyなんだけど、2x-9を満たせばいいから、yは正直どうでも良い。だから、解答例としては、

(x,y)=(9/2,1),(9/2,2),(9/2,3),(9/2,4),(9/2,5)

一見難しそうだが、因数分解を使えば綺麗に整理できるのだ。

(2)

これは高校入試でよくある出題形式。普通にc(2c+2d)(2c-2d)で代入しても良いのだが、2を掛けるのが面倒くさい。そこで、あえて4c(c+d)(c-d)の形にすることで計算しやすい形にして、解答は、

-375000000

計算しやすい形にいかに整理できるかが問題を解く時間の鍵を握る重要な要素。

(3)

取りあえず両方の与式の左辺を因数分解してあげよう。すると、ac(b-1)(c-1)=10と(b-1)(c-1)=8となる。ここまで来たらあと1歩。ac(b-1)(c-1)を(b-1)(c-1)で割ってあげるとacが残る。これは10/8=5/4なので、(5/4)^3を解けば良い。よって、解答は、

125/64

因数分解するコツは、共通因数をいかに素早く見つけ出せるか、だ。

(4)

これも(3)と似たような問題だが、今回は因数分解だけでは上手くいかないはずだ。解答はまた次回。

(5)

これは結局、同類項を足してあげて式を整理すると、(3a+3b+3c+3d+⋯+3z)^2となる。問われているのはazの係数なので、ここから関係するaとzだけを抽出してあげると、(3a+3z)^2となる。計算すると、9a^2+18az+9z^2になるので、解答は、

18

問題を広い視野で視てみると、簡単な解法が見つかるかもしれない。

最後に、この解答よりも良い解法があるかもしれないので、是非コメントで教えてください。誤りがあった場合は指摘をお願いします。